Wednesday, September 21, 2022

Teorema Fundamental Del Algebra Gauss

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Teorema Fundamental Del Algebra

Clase 9.4: Teorema fundamental del algebra (teorema de Gauss)

Una función tiene por lo menos un en el conjunto de .

El teorema fundamental del algebra establece que “Una función polinomial de n th tiene exactamente n ceros en el conjunto de números complejos, contando .”

Ejemplo:

g = x 3 2 x 2 + 9 x 18 Iguale g = 0 y factorice los números complejos para encontrar los ceros.

0 = x 2 + 9 0 = 0 = x = 2 o x = 3 i o x = 3 i

Los ceros de la función son 2, 3 i , 3 i

Nota: Los son un de los números complejos porque cada número real puede ser escrito en la forma a + bi .

The Fundamental Theorem Of Algebra

Every polynomial equation of degree n with complex coefficients has n roots in the complex numbers.

… if one carries out operations with these impossible roots, as though they really existed, and says for example, the sum of all roots of the equation x 0 x^+ax^ + bx^ + . . . = 0 xm+axmâ1+bxmâ2+…=0 is equal to -a even though some of them may be impossible , then I can only say that I thoroughly disapprove of this type of argument.

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a rigorous proof could be constructed on the same basis.

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Euler gave the most algebraic of the proofs of the existence of the roots of an equation, the one which is based on the proposition that every real equation of odd degree has a real root. I regard it as unjust to ascribe this proof exclusively to Gauss, who merely added the finishing touches.

El Teorema Fundamental Del Lgebra

Teorema . Todo polinomio no constante con coeficientes complejos posee al menos una raíz compleja.

Demostración. Sea con coeficientes complejos. Razonamos por reducción al absurdo. Supongamos que no tiene raíces complejas, es decir, para todo La función es entera por ser un cociente de dos funciones enteras cuyo denominador nunca se anula. Tenemos y por lo tanto

y por lo tanto existe tal que si

A continuación observamos que la función es continua y por lo tanto está acotada en el disco , es decir, existe entonces Las dos últimas estimaciones nos permiten deducir que es una función entera y acotada. El teorema de Liouville viene al rescate para concluir que es constante. La contradicción ha llegado

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    Aritmtica Astronoma Y Electromagnetismo

    Con poco más de 20 años, Johann Carl Friedrich Gauss fue el primero en probar con rigor el teorema fundamental del álgebra y en 1801 publicó su obra ‘Disquisitiones arithmeticae‘. Gauss sostenía que “la matemática es la reina de las ciencias, y la aritmética, la reina de las matemáticas”.

    Ello no impidió que se prodigara en otros campos. En 1809, tras ser nombrado director del Observatorio de Gottingen, describió cómo calcular la órbita de un planeta con una precisión sin precedentes. Y en 1835 revolucionó el electromagnetismo con su ley de Gauss, que relaciona el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada y la carga eléctrica encerrada en esta superficie.

    El Prncipe De Las Matemticas

    Teorema de Gauss

    ….cuando el famoso viajero y aficionado a las ciencias barón Alexander von Humboldt preguntó a Laplace quién era el más grande matemático de Alemania, Laplace replicó Plaff. “Y entonces Gauss, ¿qué?”, preguntó el asombrado von Humboldt. “Oh, – dijo Laplace-, Gauss es el mayor matemático del mundo.”

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    No Quieres Nmeros Complejos

    Si no queremos números complejos, podemos multiplicar pares de raíces complejas:

    = a2 + b2

    Se obtiene una Ecuación Cuadrática sin Números Complejos … es puramente Real.

    Ese tipo de cuadrática se llama cuadrática irreducible.

    Y recuerda que los factores simples como se llaman Factores Lineales

    Por lo tanto, un polinomio se puede factorizar en todos los valores reales usando:

    • Factores Lineales, y

    x31 =

    Se ha factorizado en:

    • 1 factor lineal:
    • 1 factor cuadrático irreducible:

    Para factorizar más necesitamos usar números complejos, por lo que es una “cuadrática irreducible”.

    Su Poca La Revolucin Industrial

    La primera gran revolución industrial tuvo lugar en Inglaterra, a finales del siglo XVIII.

    Supuso el paso de una economía agrícola a otra caracterizada por procesos de producción más mecanizados

    El trabajo se trasladó de la fabricación de productos primarios a la de bienes manufacturados y servicios.

    Se crearon grandes fábricas para sustituir a los pequeños talleres familiares.

    Estas fábricas se concentraron en áreas geográficas reducidas, iniciándose las migraciones desde las zonas rurales a las nuevas áreas industriales. Esta nueva estructura económica tuvo como consecuencia la aparición de nuevas clases sociales.

    La Revolución Industrial supuso, al principio, una reducción del poder adquisitivo de los trabajadores y una pérdida de calidad en su nivel de vida.

    Más tarde, se tradujo en un aumento de la calidad de vida de toda la población del país industrializado.

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    Teorema Fundamental Del Lgebra

    El teorema fundamental del álgebra establece que todo polinomio de grado mayor que cero tiene una raíz. El dominio de la variable es el conjunto de los números complejos, que es una extensión de los números reales.

    Aunque este enunciado, en principio, parece ser una declaración débil, implica que todo polinomio de grado n de una variable con grado mayor que cero con coeficientes complejos tiene, contando las multiplicidades, exactamente n raíces complejas. La equivalencia de estos dos enunciados se realiza mediante la división polinómica sucesiva por factores lineales.

    Hay muchas demostraciones de esta importante proposición, que requieren bastantes conocimientos matemáticos para formalizarlas.

    Bounds On The Zeros Of A Polynomial

    Teorema fundamental del álgebra

    While the fundamental theorem of algebra states a general existence result, it is of some interest, both from the theoretical and from the practical point of view, to have information on the location of the zeros of a given polynomial. The simpler result in this direction is a bound on the modulus: all zeros of a monic polynomial z

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    En El Mundo Del Magnetismo

    A partir de 1831 comenzó a trabajar con el físico Wilhelm Weber en la investigación teórica y experimental del magnetismo.

    Ambos inventaron un magnetómetro y organizaron en Europa una red de observaciones para medir las variaciones del campo magnético terrestre.

    Gauss pudo demostrar el origen del campo estaba en el interior de la tierra.

    Gauss y Weber trabajaron también con las posibilidades del telégrafo, el suyo, fue probablemente el primero que funcionó de manera práctica, adelantándose en 7 años a la patente de Morse.

    Después de su muerte se supo que Gauss había encontrado la doble periodicidad de las funciones elípticas.

    Gauss se encuentra entre los primeros en dudar de que la geometría euclídea fuese inherente a la naturaleza humana.

    El axioma de las paralelas, básico en la geometría euclídea, había sido objeto de estudio a lo largo de siglos, intentándose demostrar a partir de los restantes axiomas de Euclides sin resultado alguno.

    Algunas de sus anotaciones hacen ver que Gauss pensaba que podría existir una geometría en la que no se verificase el axioma de las paralelas.

    En 1820, Janos Bolyai, llegó a la conclusión de que la demostración del teorema de las paralelas era imposible y comenzó a utilizar una nueva geometría que no utilizara el axioma de Euclides.

    Tres años más tarde publicó sus resultados, estos fueron acogidos de manera muy fría por el propio Gauss, señalando que él ya había llegado a esas conclusiones muchos años antes.

    Lmites En Los Ceros De Un Polinomio

    Si bien el teorema fundamental del álgebra establece un resultado de existencia general, es de cierto interés, tanto desde el punto de vista teórico como desde el práctico, tener información sobre la ubicación de los ceros de un polinomio dado. El resultado más simple en esta dirección es un límite en el módulo: todos los ceros de un polinomio mónico satisfacen una desigualdad | | R , donde z

    . : = 1+ \ max \ |, \ ldots, | a_ | \}.}

    Observe que, como se dijo, esto todavía no es un resultado de existencia, sino más bien un ejemplo de lo que se llama un límite a priori : dice que si hay soluciones, entonces se encuentran dentro del disco cerrado del centro el origen y el radio R . Sin embargo, una vez acoplado con el teorema fundamental del álgebra, dice que el disco contiene de hecho al menos una solución. De manera más general, un límite se puede dar directamente en términos de cualquier p-norma del n -vector de coeficientes que es | | R p , donde R p es precisamente la norma q del vector 2 q es el exponente conjugado de p , para cualquier 1 p . Por tanto, el módulo de cualquier solución también está acotado por a

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    Ilustracin De Una Demostracin Del Teorema Fundamental Del Algebra

    El Teorema Fundamental del Algebra dice que todo polinomio a coeficientes complejos tiene un raíz compleja, es decir existe un número complejo donde el polinomio evalua a cero. Hay muchas demostraciones de este importante resultado. Todas requieren bastantes conocimientos matemáticos para formalizarlas. Sin embargo, si se deja de lado algo del rigor matemático, hay argumentos simples y creibles, que le permiten a uno convencerse de la veracidad del TFA. Nuestro objetivo es presentar a continuación uno de estos argumentos.

    Consideremos entonces un polinomio P cualquiera de gradon. Luego, su n-ésimo coeficiente Pn no puede ser igual a 0. Si P=0, estarímos listos pues tendríamos que 0 es una raíz de P. Supondremos entonces que se tiene el caso no trivial, es decir, que P no es 0. Notar que esto significa que P0 es distinto de 0, puesto que P=P0.

    Sea Cr al conjunto de números complejos de módulo r, i.e., Cr= . Geométricamente dichos números están ubicados en un círculo de radio r en torno al origen del plano complejo. Por ejemplo, si r=1, entonces Cr es:

    Sea además P la imágen a través de P de Cr, i.e., P=. Observar que P es una curva cerrada.¿Porqué? Observar también que si r es suficientemente pequeño , entonces todo elemento de P estará muy cerca de P0 en el plano complejo y el origen del plano complejo estará en el “exterior” de la curva P.¿Porqué? Por ejemplo, si P=-1.5*·z+2I·z2+I·z3 y r=0.75, entonces P es:

    P = P0 + P1·z + P2·z2 + … + P6·z6P

    Historiadel Teorema Fundamental Del Lgebra

    Obras De Gauss

    FTA: Cada ecuaciónpolinómica de grado n, con coeficientes complejos, tiene n raíces en el cuerpode los complejos.

    De hecho existen muchasformulaciones equivalentes del FTA. Por ejemplo, que cada polinomio real puedeser expresado como producto de factores lineales reales o cudráticos reales.

    Los primitivos estudios llevados a cabo por al-Khwarizmi sólo buscaban raíces realespositivas y el FTA no tenía sentido. Cardano fue el primero en darse cuenta queuno podía trabajar con cantidades más generales que los números reales. Eldescubrimiento lo hizo trabajando para hallar las raíces de una cúbica. Esos métodosaplicados a la ecuación x^3 = 15x + 4 dieron una respuesta que implicaban laraíz cuadrada de -121, Cardano sabía que la ecuación tenía a x = 4 como raíz yfue capaz de manipular con números complejos hasta hallar la solución correcta. Bombelli, en su Algebra, publicadoen 1572, dió unas reglas para manipular estos nuevos números.

    x2m + Ax2m-2 + Bx2m-3 +.. . =

    y entonces multiplica enel segundo miembro e iguala coeficientes. Euler afirmó que esto conduce aobtener los coeficientes g, h, … como funciones racionales de loscoeficientes originales A, B,… Esto lo realizó paea n = 4, pero esquematizóel caso general.

    En 1795, Laplace trató deprobar el FTA usando el discriminante de un polinomio. Su demostración era muyelegante solo que de nuevo suponía la existencia de las raíces.

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    Biografa De Gauss Carl Importantes Matemticos De La Historia

    Sus aportaciones en todos los campos matemáticos fueron increíbles, aunque algunos de sus descubrimientos tuvieran que esperar más de un siglo para ser valorados debidamente.

    Las aportaciones de Gauss en todos los campos de la Matemática son inestimables: Teoría de números, Astronomía, Magnetismo, Geometría, Análisis

    Cualquier gran descubrimiento matemático a lo largo de este siglo encuentra detrás la alargada sombra de Gauss. Sólo en Francia otra figura es capaz de hacerle sombra, Cauchy, dando paso, o mejor obstaculizando, a dos jóvenes genios: Abel y Galois.

    Ejemplo: Cules Son Las Races De X2 9

    x2 9 tiene grado 2 , por lo que hay 2 raíces. Vamos a resolverlo. Queremos que sea igual a cero:

    x2 9 = 0

    Suma 9 de ambos lados:

    x2 = +9

    Luego toma la raíz cuadrada de ambos lados:

    x = ±3

    Así que las raíces son 3 y +3

    Y hay algo más de interés:

    Un polinomio se puede reescribir así:

    Factores Linealeslínea

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    Contribuciones A La Teora Del Potencial

    El teorema de la divergencia de Gauss, de 1835 pero publicado en 1867, es fundamental para la teoría del potencial y la física. Coloca en un campo vectorial la integral del volumen para la divergencia de un campo vectorial en relación con la integral de superficie del campo vectorial alrededor de dicho volumen.

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    TEOREMA FUNDAMENTAL DEL Ã?LGEBRA

    En 1801 con su libro Disquisiciones aritméticas, desarrolla la teoría de números, aportando a esta parte de las matemáticas una organización sistematizada. Su popularidad se extendió cuando predijo con exactitud la órbita del asteroide Ceres

    Para esto empleó su propio método de los mínimos cuadrados , empleado aún base de datos de la estimación astronómica. Ascendió en 1807 al puesto de profesor de astronomía en el Observatorio en Gotinga, hasta el final de sus años.

    Gauss desarrollo nuevos postulados acerca de la geometría no euclidiana, una propuesta que desechaba el postulado de Euclides sobre las paralelas sus trabajos anteceden por más de tres décadas a los postulados de y Nikolai Lobachevski.

    Hacia 1820, buscando la determinación matemática de la forma y el tamaño de la tierra, generó muchos instrumentos para clasificar los datos observacionales, destacándose la curva de distribución de errores, llamada también de distribución normal, básica en estadística.

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    Historia Del Teorema Fundamental Del Lgebra

    FTA: Cada ecuación polinómica de grado n, con coeficientes complejos, tiene n raíces en el cuerpo de los complejos.

    De hecho existen muchas formulaciones equivalentes del FTA. Por ejemplo, que cada polinomio real puede ser expresado como producto de factores lineales reales o cudráticos reales.

    Los primitivos estudios llevados a cabo por al-Khwarizmi sólo buscaban raíces reales positivas y el FTA no tenía sentido. Cardano fue el primero en darse cuenta que uno podía trabajar con cantidades más generales que los números reales. El descubrimiento lo hizo trabajando para hallar las raíces de una cúbica. Esos métodos aplicados a la ecuación x^3 = 15x + 4 dieron una respuesta que implicaban la raíz cuadrada de -121, Cardano sabía que la ecuación tenía a x = 4 como raíz y fue capaz de manipular con números complejos hasta hallar la solución correcta. Bombelli, en su Algebra, publicado en 1572, dió unas reglas para manipular estos nuevos números.

    x^ + Ax^ + Bx^ +. . . =

    y entonces multiplica en el segundo miembro e iguala coeficientes. Euler afirmó que esto conduce a obtener los coeficientes g, h, … como funciones racionales de los coeficientes originales A, B,… Esto lo realizó paea n = 4, pero esquematizó el caso general.

    En 1795, Laplace trató de probar el FTA usando el discriminante de un polinomio. Su demostración era muy elegante solo que de nuevo suponía la existencia de las raíces.

    Johann Carl Friedrich Gauss

    Johann Carl Friedrich Gauss es considerado como el chico maravilla de las matemáticas. Nació el 30 de abril de 1777 en Brunswick, hoy Alemania. Su familia era humilde desde niño mostro sus habilidades matemáticas, siendo alentado para que tuviera el apoyo del Duque de Brunswick.

    De esta forma, el Duque le ayudo económicamente hasta alcanzar la Universidad de Gotinga . Su tesis para doctor demostró el teorema fundamental del algebra. En 1801 Gauss hizo publico su trabajo en relación a la teoría de los números, las disquisiciones aritméticas.

    También propuso la teoría de los números congruentes y otras operaciones con funciones de variables complejas, que iniciaron la nueva teoría de los números algebraicos. Se destacó también como físico y astrónomo.

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    Su Curiosidad Y Capacidad De Aprendizaje Le Permitieron Realizar Tambin Grandes Contribuciones A La Astronoma La Ptica La Electricidad El Magnetismo La Estadstica Y La Topografa

    El genio hecho a sí mismo. Johann Carl Friedrich Gauss fue un niño prodigio que nació en una familia humilde y de padres analfabetos pero que fue autodidacta para aprender a leer y llegar a ser conocido como el príncipe de los matemáticos y reconocido por sus coetáneos como el matemático más grande desde la antigüedad. Así de simple es la definición de Carl Friedrich Gauss, que comparte el olimpo de los elegidos en las ciencias con Arquímedes, Newton, Euler y pocos más.

    Gauss fue matemático, astrónomo, geodesta y físico alemán que contribuyó significativamente en muchos campos, incluida la teoría de los números, el análisis matemático, la geometría diferencial, la estadística, el álgebra, la geodesia, el magnetismo y la óptica.

    Su influencia fue notable en muchos campos de la matemática y de la ciencia y sus teorías continúan vigentes en la actualidad. De hecho, fue de los primeros en extender el concepto de divisibilidad a otros conjuntos y posiblemente la teoría de números sea la rama de las matemáticas en la que la influencia ejercida por Gauss haya sido mayor, aunque ni mucho menos la única.

    Nadie dudaba de que Gauss en ese momento ya tenía suficientes conocimientos como para haberse graduado, así que en 1795 dejó el centro habiendo hecho tantas matemáticas como para terminar una carrera, pero lo hizo para ingresar en la Universidad de Göttingen, posiblemente por la gran biblioteca matemática que poseía.

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