Sunday, October 17, 2021

Algebra Lineal Ejercicios Resueltos Numeros Complejos

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Por Los Tres Mtodos Ya Vistos

Números Complejos Ejercicios Resueltos Nivel 1

Primer Mtodo: Se inicia multiplicando dos binomios, luego simplificamos el resultado hasta , enseguida multiplicamos el nuevo binomio por el tercero, llevando otra vez el resultado a que quede , y as continuamos hasta terminar. ) ) ) ) ) — ) ) ) , ) ) – ) ) ) )

Segundo Mtodo: Resolvamos ahora usando el mtodo del Binomio de Newton. Podemos observar que: , , , , ) ) ) ) ) )

Tercer Mtodo: Lo hacemos usando la ley de las potencias y el binomio de Newton. ) ) ) ) ) , *, , ) – + – – – , ) *, , – – ) – ) ) ) ) )

17 Nuevamente el resultado es el mismo por los tres mtodos. En este ltimo ejercicio es ms sencillo resolver por el mtodo de Newton y por la ley de las potencias que multiplicando cada binomio. 33. COMPRUEBE QUE *, – + ) USANDO EL Tercer Mtodo.

Con Lo Obtenido Hasta Ahora Nos Quedan Los Complejos Z1 = 2 + Ai Y Z2 = 1 + Di Y La Relacin

La segunda relación entre a y d que nos permita plantear un sistema se obtiene del cociente entreZ1 y Z2, que haremos en forma binómica, multiplicando numerador y denominador por el conjugado deldenominador, para eliminar la unidad imaginaria del denominador. Z1 = = 2 + a i 2 + + a 1)i = 2 + ad + 2d a i Z 2 1 + di 2 d 2 i 2 1+ d 2 1+ d 2

Como el cociente es un número real puro, la parte imaginaria debe ser nula. 2d a

De Acuerdo A Lo Anterior Los Valores De Las Potencias De Acuerdo A La Siguiente Tabla:

13 Aunque la tabla anterior puede resultar prctica para potencias menores a 20, para valores como resulta insuficiente. Como los valores son cclicos de 4 en 4, dividamos las potencias entre 4. Iniciemos con valores del primer rengln, usemos los valores de potencias de

Si observamos los resultados anteriores vemos que el valor despus del punto decimal es en todos los casos, con lo que podemos concluir que cualquier potencia de que se divida entre 4 y de decimales de tendr un valor de:

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Es En Forma Rectangular Pasemos A Forma Polar Y Exponencial

34 est en el tercer cuadrante, primero determinamos la amplitud | | | | | | El valor | | es exacto, como est en el tercer cuadrante . en grados con

| | | | | |

Las ecuaciones en letras negritas nos indican que un nmero cualquiera tanto real como complejo, tiene races ensimas distintas, donde la primera raz ser para , la segunda raz ser para , la tercera raz ser para , y as hasta llegar a la raz que ser para . Aunque todas las operaciones con nmeros complejos son importantes es necesario que la solucin de races con nmeros complejos quede bien comprendida, ya que al resolver ecuaciones polinmicas con nmeros complejos se tendr que resolver races. Es debido a esto que antes de resolver una raz con nmeros complejos vamos a desarrollar las ecuaciones para raz cuadrada, para raz cbica y para raz cuarta. Raz cuadrada de un nmero complejo. Se resuelven dos races y pero ya hemos usado y como los dos primeros nmeros complejos para pasar de forma binmica a forma Polar, por lo cual usaremos en lugar de y , para las dos races; y . )

para la raz

Expresar En Forma Polar Los Siguientes N Complejos:

algebra lineal: EJERCICIOS DE NUMEROS COMPLEJOS EN LA ...

a) 2

d) 2 + 2 i 3

e) 3 i

a) z = 2. Numero complejo real puro positivo, con

dibujarlo basta para obtener su forma polar.

Z = 2 = 2 + 0i = 20º

b) z = 5. Numero complejo real puro negativo.

Z = 5 + 0i = 5180º

c) z = i. Numero complejo imaginario puro.

Z = 0 + i = 190º

d) Z = 2 + 2 i 3

Z: 4180 arctg 3 1202

2 3

Módulo r: 2 2 3 16 4Z º2 Cuadrante:

e) Z= 3 i

Módulo r: 3 1 4 2Z º4 Cuadrante:

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Compruebe El Siguiente Ejercicio

La segunda forma de restar nmeros complejos es usar las leyes de los signos para cambiar el signo a la parte real e imaginaria del segundo nmero complejo con lo que la ecuacin se transforma en una suma de nmeros complejos, esto es muy til, en especial cuando hay signos negativos en el segundo nmero complejo. En forma de ecuacin queda as: ) ) ) )

Resolveremos con la segunda forma algunos de los ejercicios que hicimos con la primera forma, observe que se requiere de un paso adicional para hacer el cambio de signo en el segundo nmero complejo quedando la ecuacin como suma de dos nmeros complejos en vez de resta: ) ) ) ) ) ) ) ) ) )

Hallar A Y B Para Que El Complejo

3 bi

Lo primero es expresar el segundo miembro de la igualdad en forma binómica.

sen 315 sen 54 45 sen

2

cos 315 cos 45 cos 452315 2 cos 315 isen 315 =

a i = +

+

Los parámetros a y b se calculan por identificación igualando las partes reales y las imaginarias,

para lo cual lo más sencillo es pasar el denominador al segundo miembro y operar el producto.

a+ i2 =

a i2 i b ) )i 3

2:Im b 3

a:Re 3 ba i 2 3 b b :i 3

Otra forma mucho más complicada es operar tal como esta, el primer miembro de la igualdad se

pasa a forma binómica multiplicando numerador y denominador por el conjugado del denominador

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Ejercicios Resueltos De Operaciones Con Nmeros Complejos En Forma Polar

Vamos a realizar ahora unos ejercicios para practicar lo aprendido.

Realiza las siguientes operaciones con números complejos, operando y expresando el resultado en forma polar:

Empezamos por el apartado a:

Pasamos los números complejos a forma polar:

Multiplicamos los módulos y sumamos los argumentos:

Operamos y nos queda:

Como el argumento es mayor a 360 º, le restamos 360º para que quede entre 0º y 360º:

Seguimos con el apartado b:

En primer lugar, pasamos los números complejos a forma polar:

Realizamos la potencia del numerador, elevando al cuadrado el módulo y multiplicando por dos el argumento:

Operamos en el numerador:

Ahora dividimos los módulos y restamos los argumentos:

Operamos y nos queda:

Al no dar un número exacto, dejamos el módulo en forma de fracción y el denominador en forma de raíz, aunque también puedes trabajar con decimales si quieres.

Le restamos 360º al argumento:

Por último, el apartado c:

Pasamos el número en forma binómica a forma polar:

Elevamos el módulo a 4 y multiplicamos el argumento por 4:

Operamos:

En este caso, el argumento es mucho mayor que 360º, por tanto le vamos restando 360º hasta que quede entre 0º y 360º:

Falta otra operación más, que son las raíces con números complejos, que la tienes explicada dentro del Curso de Números Complejos.

Representacin De Los Nmeros Complejos

Operaciones con números complejos

Representación Cartesiana;

Todo número complejo puede representarse en el plano cartesiano, donde el eje x representa la parte real, y el eje y representa la parte imaginariaSea \ entoncesForma cartesiana \ \);\ Se denomina módulo del complejo z\

Rrepresentación Trigonométrica o Polar

Para representar un complejo en su forma trigonométrica es necesario conocer el radio vector y el ángulo que forma este radio vector y el eje real positivo. Módulo del complejo o radio vector; \; ; \ Argumento del; complejo o ángulo ); \; ;; entoncs; \ )Sea\\\ \);;;;Forma trigonométrica;;

Representación Exponencial de un Complejo

Es aquella que utiliza la base de los logaritmos neperianos «\», el módulo; \ y el ángulo «\». Recuerda la fórmula de Euler;;\ Sea el complejo «z»;;\;;;;\;;; Forma exponencial o de Euler

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Matemticas Avanzadas Para Ingeniera Nmeros Complejos: Problemas Resueltos

  • Vistas:

Transcripción

1 Matemáticas Avanzadas para Ingeniería Números Complejos: Problemas Resueltos. Si z 3 + i y z i, calcule: a) z + z b) z z c) z z d) z /z e indique la opción con su resultado dentro de la siguiente lista: ) i ) + 9 i 3) 9 i 4) i 5) + i 6) 5 i a) z + z + i + 7 i i agrupado respecto a i b) z z i 7 i 5 i agrupado respecto a i c) z z + + + todos contra todos + 8 i + i + 4 i + 8 i + i 4 cambiando i i + i + 9 i agrupado respecto a i d) z 4+7 i z 3+ i 4+7 i 3+ i 3 i 3 i multiplicando por conjugado del denominador + i 8 i 4 i 9+6 i 6 i 4 i multiplicando arriba y abajo + i 8 i i 6 i+4 cambiando i 6+3 i 3 agrupado respecto a i i distribuyendo el denominador que es real i. Si z 4 i, z + 4 i y z i, calcule: a) z c) a) z ) + + + 4 + i 8 i 4 i 4 + i 8 i i c) + ) ) + + + 4 4 i + 8 i 8 i 3. Realice los siguientes cálculos: 4 4 i + 8 i i

4 Ma300, Números Complejos: Problemas Resueltos 4 7. Cuánto deben valer el real x y el real y para que se verifique la igualdad: x + 3 i 4 i + y i Respuesta: Recordemos que para que dos números complejos sean iguales sus partes reales deben ser iguales. Así como sus partes imaginarias deben ser iguales. Como x + 3 i 4 i + y i x i 8. Si z + z i, z + z 0 8 i z z 3 4 i, z z i z z i, z z 4 5 i z /z 5, z / i determine la parte imaginaria de: ) z z 3 ) z z 3 3) z z 4

Encontremos La Forma Binmica Del Nmero Complejo:

Los valores y no son exactos, y no es posible hacerlos exactos elevando al cuadrado o al cubo, por lo que se dejan con todas sus cifras significativas en los clculos y solo al ltimo se redondean a 5 cifras significativas. 20. Demuestre que la forma binmica del nmero complejo:

21. Encontremos la forma binmica del nmero complejo: la calculadora debe estar en RAD . )

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Cuadrante Primero A Segundo A Tercero A Cuarto A

Demos ejemplos de argumentos en los diferentes cuadrantes en forma positiva y negativa: , Segundo , Tercero , Cuarto . Encuentre el lector los ngulos anteriores en hoja cuadriculada con ayuda de un transportador de preferencia de . Los nmeros complejos no se pueden sumar o restar en forma polar, por lo que en este caso se deben pasar de forma polar a forma binmica. Vamos a ver como pasar un nmero complejo de forma binmica a forma polar. Sern cuatro ejemplos, uno por cada cuadrante. Luego habr cuatro ejemplos, que coincidan con los ejes x, o y, despus veremos ejemplos de nmeros complejos que pasan de forma polar a forma binmica. 1. Encontremos la forma polar en grados y en radianes del nmero complejo: Primero

est en el primer cuadrante, primero determinamos la amplitud en grados con la expresin | | | | Como| | teniendo | |

La Forma Rectangular De Un Nmero Complejo Es: Pero

NUMEROS COMPLEJOS EJERCICIOS RESUELTOS PDF

Grfica 1: Representacin de la forma polar de un nmero complejo. Donde es la forma polar de un nmero complejo. En la expresin anterior representa la longitud, la cual es siempre positiva y se conoce como mdulo o valor absoluto del nmero complejo. Con el teorema de Pitgoras se obtiene | |

El ngulo se denomina amplitud o argumento, su valor se debe dar siempre en relacin a las 3 de la tarde en un reloj y se debe leer en el sentido contrario de las manecillas del reloj. Para determinar el ngulo se usa en la ecuacin de un ngulo denominado Para obtenerlo siempre con valor | | positivo se usan dos ecuaciones la primera es , donde | | es el valor absoluto de sin el trmino , | | es el valor absoluto de . El ngulo est entre los valores de y para los cuatro cuadrantes. El ngulo inicia como ya se indic en el eje x del lado positivo con el valor en radianes. La segunda ecuacin establece la relacin entre y . Esta ecuacin depende de en que cuadrante est Veamos las grficas de ngulos en los cuatro cuadrantes. Las puntas de flecha de los ngulos y indican el sentido de los mismos.| |

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Problemas De Operaciones Con Complejos

Ahora vemos varios ejemplos de realizar sumas con números complejos.

En todos los ejemplos del video, realizamos sólo sumas de dos números, pero se podrían realizar sumas con cualquier cantidad de sumandos. Por ejemplo, podemos considerar la suma $$+-.$$ ¿Cuál sería el resultado de esta operación?

Finalmente, a continuación se muestra un video en donde see realizan operaciones de productos y de divisiones de números complejos.

En el video se define al conjugado del número complejo $z=a+bi$, que se denota por $\overline$ y se obtiene de cambiarle el signo a la parte imaginaria. Por ejemplo, $\overline=4+5i$. Si multiplicas a un número complejo $a+bi$ por su conjugado, obtienes el real $a^2+b^2$. Esto es útil para quitar las partes imaginarias de los denominadores de expresiones fraccionales con complejos.

Multiplicacin De Nmeros Complejos En Forma Polar

Para multiplicar dos números complejos en forma polar, se multiplican los módulos y se suman los argumentos:

Por ejemplo: Realizar la siguiente multiplicación:

Por un lado multiplicamos los módulos y por otro sumamos los argumentos:

Nos queda:

También podemos multiplicar tres números complejos en forma polar, siguiendo el mismo procedimiento. Por ejemplo:

Multiplicamos los módulos por un lado y por otro sumamos los tres argumentos:

Nos queda:

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Ms Ejemplos Y Prctica Extra

En otro curso, el Seminario de Resolución de Problemas, escribimos una entrada de cómo se pueden usar los números complejos para la resolución de problemas matemáticos. Ahí hay teoría más avanzada, pero puedes echarle un ojo para que veas lo que veremos más adelante en el curso.

En la página de Khan Academy en Español, puedes , así como hacer muchos ejercicios de práctica.

En El Caso De Argumentos Negativos Se Pueden Expresar En Forma Positiva Si Les Sumamos

EJERCICIO 1 CON NÚMEROS COMPLEJOS

/ . /1

En el caso de argumentos negativos se pueden expresar en forma positiva si les sumamos en radianes paso a paso es: (

. La suma

Forma Exponencial de un nmero complejo Con las leyes de los exponentes tenemos que:lugar de tomamos el valor entonces Qu pasa con como ? , pero con tenemos el . con x, y en particular si en

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Compruebe Las Siguientes Expresiones

Con lo que tenemos visto ya estamos en condiciones de abordar ejercicios ms complicados de multiplicacin y divisin de nmeros complejos. Vamos a resolver binomios elevados a potencias como por tres mtodos distintos. Primer Mtodo: Se inicia multiplicando dos binomios, luego simplificamos el resultado hasta , enseguida multiplicamos el nuevo binomio por el tercero, llevando otra vez el resultado a que quede . ) ) ) ) )

El binomio de Newton y el tringulo de Pascal se usan para resolver binomios elevados a cualquier potencia. Los primeros 5 renglones de cada uno de ellos son: Tringulo de Pascal ) ) ) ) ) ) ) )

24. Construya el tringulo de Pascal y el Binomio de Newton para las potencias 5, 6, 7 y 8. Segundo Mtodo: Usamos el Binomio de Newton. ) ) ) pero porque

16 Observe que al desarrollar el binomio de Newton si sumamos las potencias de cada trmino se obtiene la potencia a resolver, en este caso 3. Tercer Mtodo: Lo hacemos usando la ley de las potencias y el binomio de Newton. ) ) , ) ) ) ) USANDO EL Primer Mtodo. USANDO EL Segundo Mtodo. USANDO EL Tercer Mtodo. ) ) ) , – –

27. COMPRUEBE QUE ( 28. COMPRUEBE QUE ( 29. COMPRUEBE QUE ( Resolver (

B Nmero Complejo Imaginario Puro La Parte Real Nula

2 ·i 2. Hallar el valor de k para que el complejo sea un nº real. Hallar su cociente. 1 ki Se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador. i i ) 2 1 + ) k i 2 + ) 1) i 2 + k + k 2 + i = = = ) = 1 ki 12 k 2 i 2 1+ k 2

2+ k + k2 k 1 = + i

Para que un número complejo sea real puro, la parte imaginaria debe ser nula. k 1 = 0 : k 1 = 0 : k = 1 1+ k 2

2 + 1 + 12 11 3 = + i= +0i

3. Hallar a y b para que el complejo sea igual 2 315 3 + bi Lo primero es expresar el segundo miembro de la igualdad en forma binómica. 2 cos 315 = cos = cos 45 = 2 315 = 2 = 2 = 2 2 2 i = 1 i 2 2 sen 315 = sen = sen 45 = 2 = 1 i 3 + bi Los parámetros a y b se calculan por identificación igualando las partes reales y las imaginarias,para lo cual lo más sencillo es pasar el denominador al segundo miembro y operar el producto. a + 2i =

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